Irrational und transzendent
Die bewiesenen Eigenschaften von Pi
Was ist das Besondere an Pi? Und warum gibt sie den Mathematikern noch immer Rätsel auf? Letztlich sind es vor allem drei Eigenschaften, die die Kreiszahl auszeichnen. Zwei davon sind heute mathematisch bewiesen und damit gesichert.
Pi ist irrational
Eine Eigenheit der Kreiszahl ist ihre Irrationalität. Das bedeutet, dass Pi, im Gegensatz zu den meisten Dezimalzahlen, nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar ist. Als Konsequenz hören ihre Dezimalstellen nicht irgendwann auf, sondern setzen sich bis ins Unendliche fort. Dass es überhaupt solche Zahlen gibt, entdeckten schon die alten Griechen. Der Legende nach soll der Mathematiker Hippasos von Metapont sogar für diese Entdeckung gestorben sein: Nachdem er festgestellt hatte, dass die Wurzel aus zwei irrational ist, kam es zum Zerwürfnis mit seinem Lehrer Pythagoras. Als er später im Meer ertrank, galt dies als göttliche Strafe für seinen „Frevel“.
Ob es nun stimmt oder nicht – gegen die Erkenntnis, dass es diese seltsamen, unendlich andauernden Zahlen gibt, half das jedenfalls nichts. Euklid veröffentlichte im 4. Jahrhundert vor Christus den Beweis der Irrationalität von Wurzel aus zwei in seinen „Elementen“, dem bis ins 19. Jahrhundert hinein bekanntesten Lehrbuch der Mathematik. Die Kreiszahl Pi allerdings musste noch bis zum Jahr 1761 warten, bis auch ihre Irrationalität von Johann Heinrich Lambert belegt wurde.
Pi ist transzendent
Auch wenn es so klingt: Transzendenz bedeutet hier nicht, dass Pi in irgendeiner Form esoterisch oder spirituell angehaucht sein könnte. Wenn Mathematiker von Transzendenz sprechen, meinen sie Zahlen, die nicht durch bestimmte algebraische Gleichungen beschreibbar sind. Oder, wie es der Mathematiker Leonhard Euler 1748 in seinem Lehrbuch formulierte: „Sie überschreiten […] die Wirksamkeit algebraischer Methoden.“
Mathematisch konkreter gesagt: Es gibt kein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das Pi als Nullstelle hat. Salopp übersetzt heißt das im Prinzip nichts anderes als dass eine „Quadratur des Kreises“ unmöglich ist. Bei diesem klassischen Problem der Geometrie geht es darum, dass auf einem gegeben Kreis ein Quadrat mit genau demselben Flächeninhalt konstruiert werden soll. An dieser Aufgabe versuchten sich seit der Antike immer wieder Mathematiker, aber auch Philosophen und andere mathematische Laien – alle vergeblich. Denn mit Lineal und Zirkel ist eine Lösung dieser auf den ersten Blick so einfach erscheinenden Aufgabe nicht möglich, wie der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann 1882 bewies.
Wie normal ist Pi?
Rätsel um die dritte Eigenschaft der Kreiszahl
Die dritte große Eigenschaft von Pi gehört zu den bis heute offenen Fragen der Mathematik. Es geht um die Normalität. Normal ist eine Zahl im mathematischen Sinne immer dann, wenn alle Ziffern und Ziffernblöcke in ihrer Zahlenfolge in absolut gleicher Häufigkeit auftreten, und dies vollkommen zufällig verteilt. Das heißt, keine der Zahlen von 0 bis 9 darf in den Nachkommastellen von Pi häufiger oder weniger häufig vorkommen als eine andere.
Sind die Nachkommastellen von Pi wirklich absolut zufällig?
Selbst vermeintlich ausgefallene Zahlengruppen wie 000000 oder 999999 dürfen bei einer normalen Zahl nicht seltener auftreten als 123456 oder 314159. Damit muss theoretisch auch jede belie
bige Zahlenkombination, sei es eine Telefonnummer ein Geburtsdatum oder ein in Zahlen übersetzter Satz, irgendwo in Pi enthalten sein. Tatsächlich kommt beispielsweise die Zahlenfolge 01234567890 in den bisher bekannten Nachkommastellen von Pi gleich mehrfach vor, das erste Mal ab der 53.217.681.704.Stelle. Die ersten Ziffern von Pi, 314159265358, tauchen ebenfalls noch einmal auf, allerdings erst nach der ein billionsten Stelle.
Die Bibel in Pi
Da die Dezimalstellen unendlich weitergehen, wäre es sogar möglich, dass alle überhaupt in irgendeinem Zusammenhang existierenden Zahlen oder auch umgerechneten Buchstabenkombinationen in Pi enthalten sind. Konsequent zu Ende gedacht heißt das, dass theoretisch sogar alle Texte der Bibel oder die Werke Goethes in codierter Form in Pi zu finden sind. Frei nach dem Prinzip der unendlich lang tippenden Affen, die irgendwann alle Werke Shakespeares durch Zufall erzeugen. Rein mathematisch gesehen ist dieses Theorem längst eindeutig bewiesen – in der Praxis aber wohl kaum nachvollziehbar.
Test der ersten 100 Millionen Dezimalstellen
Ob sich tatsächlich irgendwo in Pi sinnvolle Botschaft verbirgt und ob die Zahlenfolge wirklich überall dem Gesetz der Normalität folgt, weiß bis heute niemand. Im Jahr 2005 untersuchten die Physiker Ephraim Fischbach und Shu-Ju Tu von der amerikanischen Purdue Universität die ersten 100 Millionen Stellen von Pi auf ihre Zufälligkeit. Sie verglichen sie zudem mit den Ergebnissen von kommerziell erhältlichen Programmen zur Erzeugung von Zufallszahlen.
Tatsächlich konnten die Forscher kein verborgenes Muster oder eine sonstige Regelmäßigkeit in den Dezimalstellen der Kreiszahl entdecken. Zwar schnitten einige der Zufallsprogramme etwas besser ab als Pi, das Fazit lautete aber dennoch: Pi ist in jedem Falle eine gute und geeignete Quelle für Zufallszahlen. Bewiesen ist damit die Normalität der Kreiszahl allerdings noch immer nicht.
Nota.
Mathematik gehört nicht zu meinen Stärken. Aber Pi war mir immer sympathisch - zuerst nur von meinem Temperament her, aber später als Erweis - na sagen wir, als Hinweis, dass die Welt eben doch nicht nach einem vernünftigen Plan von unten nach oben aufgebaut worden ist, weil anders der Mensch, der sie von oben nach unten durchleuchten muss, überall nur auf Regeln stoßen dürfte. Hätte der intelligente Designer das Quadrat aus dem Kreis oder den Kreis aus dem Quadrat konstruiert, müsste es uns gelingen, das eine aus dem andern oder das andere aus dem einen zu rekonstuieren.
Wenn aber irdischen Menschen die vollkommene Gestalt des Kreises und die vollkommene Gestalt nach Maßgabe der Schönheit "erschaut" haben, dann wäre es ein grotesker Zufall, wenn das gelänge. Wohlbemerkt: Zufälle sind möglich, und wenn Pi nicht wäre, wie es ist, wäre damit nichts bewiesen. Aber dass es so ist, wie es ist, ist ein... nun ja, ein klarer Hinweis darauf, dass, wenn die Welt von einem intelligenten Designer entworfen worden sein sollte, sie jedenfalls nicht nach den Sätzen der Mathematik konzipiert wurde; das Buch der Natur ist wohl eher in irgend einem Kauderwelsch verfasst.
JE
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