Bändermodell: Flächen konstanter Energie für die Halbleiter Ge, Si und GaAs. Die Symmetrie der Energieflächen der indirekten Halbleiter Si und Ge ist sehr viel komplizierter als für den direkten Halbleiter GaAs; aus spektrum.de
aus Die Presse, Wien, 10. 12. 2015
Eine offene Lücke in der Physik
Aus der quantenmechanischen Beschreibung eines Systems kann man weniger schließen, als man bisher dachte.
Von Thomas Kramar
So viele Atome, so viele Elektronen, das Gitter schwingt wild: In der Physik der Festkörper ist alles sehr kompliziert. Zu ihren intuitivsten – und populärsten – Konzepten zählt das Bändermodell: Die Elektronen eines Festkörpers sind in Energiebändern daheim, das Valenzband ist vollständig mit Elektronen besetzt, das Leitungsband nicht. Dazwischen ist bei Nichtleitern eine Bandlücke (auf Englisch: gap), bei Leitern keine, bei Halbleitern eine kleine. Exakter mathematisch zu definieren ist das spectral gap: als Energie-differenz zwischen dem Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand eines Elektrons.
Kann man, wenn man die mikroskopische Struktur eines Systems mit vielen Elektronen kennt und die einschlägigen quantenmechanischen Rechenmethoden beherrscht, vorhersagen, ob es eine solche Energielücke hat oder nicht? Ja, würden wohl die meisten Festkörperphysiker sagen. Doch Mathematiker um Toby Cubitt (Cambridge) und Michael Wolf (München) zeigten in Nature (9. 12.): Man kann es nicht, und zwar grundsätzlich nicht. „Es ist ein unentscheidbares Problem“, sagt Cubitt. „Das heißt, dass eine allgemeine Methode nicht existieren kann, mit der man bestimmen kann, ob Materie, die von der Quantenmechanik beschrieben wird, eine spektrale Lücke hat oder nicht.“
Unentscheidbare Probleme kennt man aus den ganz abstrakten Regionen der Mathematik, etwa von Kurt Gödel, der nachwies, dass es in formalen Systemen wie der Arithmetik Aussagen geben muss, die man formal weder beweisen noch widerlegen kann. „Niemand hat sich bisher ernsthaft überlegt, dass es so etwas auch im Herzen der theoretischen Physik geben könnte“, sagt Wolf: „Unsere Ergebnisse ändern dieses Bild.“
Millennium-Problem unlösbar?
Eine spektrale Lücke spielt auch im Herzen der Teilchenphysik eine Rolle: in der Yang-Mills-Theorie, die die starke und die schwache Kraft beschreibt. Zu zeigen, dass in ihr eine solche Lücke existiert, ist sogar Teil eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik, für deren Klärung das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 je eine Million Dollar ausgelobt hat.
Heißt das, dass niemand die Million bekommen kann? Nicht unbedingt, erklärt Cubitt: „Es ist möglich, dass besondere Fälle eines Problems lösbar sind, auch wenn das allgemeine Problem unentscheidbar ist.“
Nota. - Trauen Sie nicht dem Augenschein! Dass es in der Physik, und zwar ganz unten im elementarsten Bereich, Probleme gibt, die sich grundsätzlich nicht entscheiden lassen, nie und nimmer, ist für den gesun-den Menschenverstand nicht besorgniserregend, sondern im Gegenteil tief beruhigend: Denn wäre es an-ders, ließen sich alle Rätsel der Welt lückenlos auflösen, wenn die Intelligenz restlos Alles durchschauen könnte – dann führte kein vernünftiger Weg an der Annahme vorbei, dass diese Welt von einem intelligen-ten Designer ausgedacht worden ist. Und das wäre allerdings der Tod des gesunden Menschenverstandes, denn es übersteigt allen Verstand.
JE
Keine Kommentare:
Kommentar veröffentlichen